Titik Belok

Titik belok fungsi adalah titik dimana terjadi perubahan kecekungan fungsi. Sementara kecekungan fungsi adalah bentuk grafik fungsi tersebut memiliki kecendrungan cekung ke arah mana. Dalam hal ini sebuah fungsi polinom memiliki 2 kemungkinan kecekungan. Cekung ke atas dan cekung ke bawah.

Garis merah Cekung Ke atas, Garis Hijau Cekung ke Bawah

Bagaimana cara menentukan fungsi cekung ke atas, fungsi cekung ke bawah dan titik belok? Menyelesaikan persoalan tersebut kita akan gunakan turunan ke dua dari fungsi yang diketahui. Berikut langkah untuk menentukan fungsi cekung ke atas, fungsi cekung ke bawah dan titik belok.

Langkah Menentukan Kecekungan Fungsi dan Titik Belok
Misalkan kita memiliki fungsi f(x),

1. Tentukan turunan ke-dua fungsi: f"(x). 
2. Carilah nilai x, ketika f"(x)=0.
3. Nilai x pada langkah ke-dua, disubtitusikan ke f(x). (x, f(x)) adalah titik belok.
4. Ambil sebarang nilai a dan b dimana a<x dan b> x. Subtitusikan ke f"(x). Jika nilainya positif = cekung ke atas. Jika nilai negatif = ke bawah.

Uji Kecekungan Fungsi
Interval kecekungan suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan kedua fungsi tersebut.

1. f(x) cekung ke atas pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) > 0
2. f(x) cekung ke bawah pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) < 0

Contoh 1

Tentukan interval-interval $f\left(x\right)=x^3-6x^2-2x+1$ cekung ke atas dan cekung ke bawah!

Jawab :
f '(x) =  3x2 − 12x

f ''(x) = 6x − 12
f(x) cekung ke atas ⇒ f ''(x) > 0
6x − 12 > 0
x > 2
f(x) cekung ke bawah ⇒ f ''(x) < 0
6x − 12 < 0
x < 2
Jadi f(x) cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

Titik Belok Fungsi

Misalkan f(x) diferensiabel dua kali pada x = a dan f ''(a) = 0.
Titik (a, f(a)) disebut titik belok fungsi f jika di sekitar titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya, dapat ditulis :
Untuk x < a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)
Untuk x > a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)
atau
Untuk x < a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)
Untuk x > a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)

Contoh 2
Titik belok dari f(x) = x3 − 3x2 + 4x adalah...
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 6x + 4
f ''(x) = 6x − 6
f ''(x) = 0
6x − 6 = 0
x = 1
f(1) = (1)3 − 3(1)2 + 4(1) = 2
⇒ (1, 2)

Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 1, maka titik (1, 2) adalah titik belok fungsi f.

Contoh 3
Tentukan titik belok dari fungsi $f\left(x\right)=x^4-4x^3+6x^2+1$

Jawab :

f '(x) = 4x3 − 12x2 + 12x
f ''(x) = 12x2 − 24x + 12
f ''(x) = 0
12x2 − 24x + 12 = 0
x2 − 2x + 1 = 0
(x −1)(x − 1) = 0
x = 1
f(1) = (1)4 − 4(1)3 + 6(1)2 + 1 = 4
⇒ (1, 4)

Karena tidak terjadi perubahan kecekungan pada x = 1, maka titik (1, 4) bukan titik belok fungsi f atau dengan kata lain fungsi tersebut tidak mempunyai titik belok.

Nilai Maksimum/Minimum

Dalam matematika, maksimum dan minimum adalah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi, baik dalam kisaran tertentu (ekstrem lokal atau relatif) atau di seluruh domain dari fungsi (ekstrem global atau absolut). Dalam masalah praktis sehari-hari nilai maksimum dan minimum sering muncul dan membutuhkan suatu cara penyelesaian. Misalnya seorang pengusaha atau pemilik pabrik tentunya ingin meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan laba.

Titik maksimum dan minimum lokal menjadi titik maksimum dan minimum fungsi

Contoh ini menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum lokal suatu fungsi belum tentu menjadi maksimum dan minimum global. Bila interval definisi fungsi ada, kita harus memeriksa pula nilai-nilai fungsi di ujung interval.

Nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam hal ini kurang lebih dapat diartikan nilai yang terbesar dan terkecil fungsi tersebut dalam interval tertutup tertentu. Sedangkan, yang dimaksud dengan interval tertutup adalah interval dengan batas yang termasuk dalam interior point. Jika interval terbuka menggunakan tanda ketaksamaan (> atau <) tanpa sama dengan, maka dalam interval tertutup tanda ketaksamaan yang digunakan menggunakan sama dengan ( < atau >).

(
Dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada kurva tertutup tertentu belum tentu nilai maksimum atau minimumnya merupakan nilai stasionernya. Nilai stasioner suatu fungsi dalam kurva tertutup tertentu dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu dari nilai-nilai stasionernya atau dari nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertutup itu

Untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minmum suatu fungsi fdalam suatu interval tertutup, dapat dilakukan dengan mengambil langkah-langkah sebagai berikut

Langkah 1
Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval.
Langkah 2
Menentukan nilai fungsi pada batas-batas/ujung-ujung interval.
Langkah 3
Menentukan nilai maksimum dan minimum berdasarkan hasil dari langkah 1 dan langkah 2.

Nantinya, nilai maksimumnya merupakan nilai yang terbesar dari fungsi fdan nilai minimum merupakan nilai yang terkecil dari fungsi f. 

Contoh soal dan pembahasan

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) = (x + 1) (x – 3) – 4 dalam interval -2 ≤ x ≤ 4

Jawab:

F(x) = (x + 1) (x – 3) – 4

F(x) = x2 – 2x – 7

Maka f '(x) = 2x – 2

(i)   Nilai stasioner, f '(x) = 0

f '(x) = 0

2x – 2 = 0

      2x = 2

       x  = 1

maka, F(x) = x2 – 2x – 7

        F(1) = (1)2 – 2(1) – 7

        F(1) = – 8 (Nilai minimum)

(ii)  Nilai pada ujung interval

Intervalnya adalah -2 ≤ x ≤ 4, maka

F(-2) = (-2)2 – 2(-2) – 7

F(-2) = 4 + 4 – 7

F(-2) = 1 (Nilai maksimum)

F(4) = (4)2 – 2(4) – 7

F(4) = 16 – 8 – 7

F(4) = 1 (Nilai maksimum)

Jadi, nilai maksimumnya adalah 1 dan nilai minimumnya adalah – 8

Limit Bentuk Tak Tentu 2

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :

Cara penyelesaian menggunakan : Subtitusi, Perkalian akar sekawan, L’Hopital ( penurunan ).

Tips : untuk suatu limit fungsi disubtitusikan menghasilan bentuk atau, maka fungsi tersebut harus terlebih dahulu diubah   menjadi bentuk

Kemudian limit fungsi tersebut dapat diselesaikan menggunakan L’Hopital.

          Trik :

Contoh Soal :

 Soal 1 

Soal 2 

                          

   Soal 3      

                       

   Soal 4

                     

  Soal 5

                  

           

       Soal 6

                  

 Soal 7 

               

  Soal 8 

                   

                            

Limit Bentuk Tak Tentu

Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :

Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :

Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu :

1.Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk 0/0 :

2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk ∞/∞ :

3. Bentuk tak tentu 0.∞ :

 

Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :

Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :