Titik Belok

Titik belok fungsi adalah titik dimana terjadi perubahan kecekungan fungsi. Sementara kecekungan fungsi adalah bentuk grafik fungsi tersebut memiliki kecendrungan cekung ke arah mana. Dalam hal ini sebuah fungsi polinom memiliki 2 kemungkinan kecekungan. Cekung ke atas dan cekung ke bawah.

Garis merah Cekung Ke atas, Garis Hijau Cekung ke Bawah

Bagaimana cara menentukan fungsi cekung ke atas, fungsi cekung ke bawah dan titik belok? Menyelesaikan persoalan tersebut kita akan gunakan turunan ke dua dari fungsi yang diketahui. Berikut langkah untuk menentukan fungsi cekung ke atas, fungsi cekung ke bawah dan titik belok.

Langkah Menentukan Kecekungan Fungsi dan Titik Belok
Misalkan kita memiliki fungsi f(x),

1. Tentukan turunan ke-dua fungsi: f"(x). 
2. Carilah nilai x, ketika f"(x)=0.
3. Nilai x pada langkah ke-dua, disubtitusikan ke f(x). (x, f(x)) adalah titik belok.
4. Ambil sebarang nilai a dan b dimana a<x dan b> x. Subtitusikan ke f"(x). Jika nilainya positif = cekung ke atas. Jika nilai negatif = ke bawah.

Uji Kecekungan Fungsi
Interval kecekungan suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan kedua fungsi tersebut.

1. f(x) cekung ke atas pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) > 0
2. f(x) cekung ke bawah pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) < 0

Contoh 1

Tentukan interval-interval $f\left(x\right)=x^3-6x^2-2x+1$ cekung ke atas dan cekung ke bawah!

Jawab :
f '(x) =  3x2 − 12x

f ''(x) = 6x − 12
f(x) cekung ke atas ⇒ f ''(x) > 0
6x − 12 > 0
x > 2
f(x) cekung ke bawah ⇒ f ''(x) < 0
6x − 12 < 0
x < 2
Jadi f(x) cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

Titik Belok Fungsi

Misalkan f(x) diferensiabel dua kali pada x = a dan f ''(a) = 0.
Titik (a, f(a)) disebut titik belok fungsi f jika di sekitar titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya, dapat ditulis :
Untuk x < a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)
Untuk x > a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)
atau
Untuk x < a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)
Untuk x > a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)

Contoh 2
Titik belok dari f(x) = x3 − 3x2 + 4x adalah...
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 6x + 4
f ''(x) = 6x − 6
f ''(x) = 0
6x − 6 = 0
x = 1
f(1) = (1)3 − 3(1)2 + 4(1) = 2
⇒ (1, 2)

Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 1, maka titik (1, 2) adalah titik belok fungsi f.

Contoh 3
Tentukan titik belok dari fungsi $f\left(x\right)=x^4-4x^3+6x^2+1$

Jawab :

f '(x) = 4x3 − 12x2 + 12x
f ''(x) = 12x2 − 24x + 12
f ''(x) = 0
12x2 − 24x + 12 = 0
x2 − 2x + 1 = 0
(x −1)(x − 1) = 0
x = 1
f(1) = (1)4 − 4(1)3 + 6(1)2 + 1 = 4
⇒ (1, 4)

Karena tidak terjadi perubahan kecekungan pada x = 1, maka titik (1, 4) bukan titik belok fungsi f atau dengan kata lain fungsi tersebut tidak mempunyai titik belok.