Dalam matematika, maksimum dan minimum adalah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi, baik dalam kisaran tertentu (ekstrem lokal atau relatif) atau di seluruh domain dari fungsi (ekstrem global atau absolut). Dalam masalah praktis sehari-hari nilai maksimum dan minimum sering muncul dan membutuhkan suatu cara penyelesaian. Misalnya seorang pengusaha atau pemilik pabrik tentunya ingin meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan laba.
Contoh ini menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum lokal suatu fungsi belum tentu menjadi maksimum dan minimum global. Bila interval definisi fungsi ada, kita harus memeriksa pula nilai-nilai fungsi di ujung interval.
Nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam hal ini kurang lebih dapat diartikan nilai yang terbesar dan terkecil fungsi tersebut dalam interval tertutup tertentu. Sedangkan, yang dimaksud dengan interval tertutup adalah interval dengan batas yang termasuk dalam interior point. Jika interval terbuka menggunakan tanda ketaksamaan (> atau <) tanpa sama dengan, maka dalam interval tertutup tanda ketaksamaan yang digunakan menggunakan sama dengan ( < atau >).
Dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada kurva tertutup tertentu belum tentu nilai maksimum atau minimumnya merupakan nilai stasionernya. Nilai stasioner suatu fungsi dalam kurva tertutup tertentu dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu dari nilai-nilai stasionernya atau dari nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertutup itu
Untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minmum suatu fungsi dalam suatu interval tertutup, dapat dilakukan dengan mengambil langkah-langkah sebagai berikut
Langkah 1
Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval.
Langkah 2
Menentukan nilai fungsi pada batas-batas/ujung-ujung interval.
Langkah 3
Menentukan nilai maksimum dan minimum berdasarkan hasil dari langkah 1 dan langkah 2.
Nantinya, nilai maksimumnya merupakan nilai yang terbesar dari fungsi dan nilai minimum merupakan nilai yang terkecil dari fungsi
Dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada kurva tertutup tertentu belum tentu nilai maksimum atau minimumnya merupakan nilai stasionernya. Nilai stasioner suatu fungsi dalam kurva tertutup tertentu dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu dari nilai-nilai stasionernya atau dari nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertutup itu
Untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minmum suatu fungsi dalam suatu interval tertutup, dapat dilakukan dengan mengambil langkah-langkah sebagai berikut
Langkah 1
Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval.
Langkah 2
Menentukan nilai fungsi pada batas-batas/ujung-ujung interval.
Langkah 3
Menentukan nilai maksimum dan minimum berdasarkan hasil dari langkah 1 dan langkah 2.
Nantinya, nilai maksimumnya merupakan nilai yang terbesar dari fungsi dan nilai minimum merupakan nilai yang terkecil dari fungsi
Contoh soal dan pembahasan
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) = (x + 1) (x – 3) – 4 dalam interval -2 ≤ x ≤ 4
Jawab:
F(x) = (x + 1) (x – 3) – 4
F(x) = x2 – 2x – 7
Maka f '(x) = 2x – 2
(i) Nilai stasioner, f '(x) = 0
f '(x) = 0
2x – 2 = 0
2x = 2
x = 1
maka, F(x) = x2 – 2x – 7
F(1) = (1)2 – 2(1) – 7
F(1) = – 8 (Nilai minimum)
(ii) Nilai pada ujung interval
Intervalnya adalah -2 ≤ x ≤ 4, maka
F(-2) = (-2)2 – 2(-2) – 7
F(-2) = 4 + 4 – 7
F(-2) = 1 (Nilai maksimum)
F(4) = (4)2 – 2(4) – 7
F(4) = 16 – 8 – 7
F(4) = 1 (Nilai maksimum)
Jadi, nilai maksimumnya adalah 1 dan nilai minimumnya adalah – 8
Tidak ada komentar:
Posting Komentar