Turunan Implisit

Pengertian implisit itu sendiri pada dasarnya adalah samar-samar, dalam matematika, sebuah Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda. Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x:

Sebailknya, sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan dari x dengan memecahkan persamaan dalam bentuk:

Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, tetapi kita tidak diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya.

Secara formal, sebuah fungsi f:X→Y dikatakan sebagai fungsi implisit apabila fungsi tersebut memenuhi persamaan:

untuk semua x∈X, dengan R adalah fungsi pada perkalian Cartesian X × Y.

Fungsi implisit sering berguna dalam keadaan yang tidak memudahkan buat memecahkan persamaan dalam bentuk R(x,y) = 0 untuk y yang dinyatakan dalam x. Bahkan bila memungkinkan untuk menyusun ulang persamaan ini untuk memperoleh y sebagai fungsi eksplisit f(x), hal ini boleh jadi tidak diinginkan, karena pernyataan f jauh lebih rumit dari pernyataan R. Dalam keadaan lain, persamaan R(x,y) = 0 mungkin tidak dapat menyatakan suatu fungsi sama sekali, dan sebenarnya mendefinisikan fungsi bernilai ganda. Bagaimanapun, dalam banyak keadaan, bekerja dengan fungsi implisit masih dimungkinkan. Beberapa teknik dari kalkulus, seperti turunan, dapat dilakukan dengan relatif mudah menggunakan fungsi implisit.

Menurunkan fungsi implisit, tak jauh berbeda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y).

Contoh Soal 1:

Tentukan dy/dx jika:

1.  y=u2$y=u^2$  dan  u=x4$u=x^4$

2. y=u2$y=u^2$  dan u merupakan fungsi dari x secara implisit.

Pembahasan:

1. Dari aturan rantai diperoleh bahwa:

            dydx=dydududx$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

                   =2u(4x3)=2(x4)(4x3)$=2u(4x^3)=2(x^4)(4x^3)$

2. Dari aturan rantai diperoleh sebagai berikut ini:

            dydx=dydududx$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

                   =2ududx$=2u\frac{du}{dx}$

   Jadi, ddx(u2)$\frac{d}{dx}(u^2)$ dengan u fungsi dari x secara implisit adalah 2ududx$2u\frac{du}{dx}$.

Contoh Soal 2:

Tentukan persamaan garis singgung kurva  x2y2+4xy=12y$x^2{y}^2+4xy=12y$  di titik (2 , 1).

Pembahasan:

Cara pengerjaannya pun masih sama seperti contoh-contoh sebelumnya yaitu dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan tentukan dalam bentuk dy/dx. Karena di soal diperintahkan bahwa tentukan persamaan garis singgung maka setelah menurunkan kedua ruasentukan dalam bentuk dy/dx maka selanjutnya  yaitu menentukan kemiringan garis singgung pada titik yang telah di berikan pada soal.

Dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan dalam bentuk dy/dx, maka diperoleh sebagai berikut:

                                        x2y2+4xy=12y$x^2{y}^2+4xy=12y$

  ddx(x2y2+4xy)=ddx(12y)$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2{y}^2+4xy)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(12y)$

2xy2+x2(2ydydx)+4y+(4x)dydx=12dydx$2x{y}^2+x^2\left(\begin{array}{c}2y\frac{dy}{dx}\end{array}\right)+4y+(4x)\frac{dy}{dx}=12\frac{dy}{dx}$

                         (2x2y+4x−12)dydx=−2xy2−4y$(2x^{2}y+4x-12)\frac{dy}{dx}=-2x{y}^2-4y$

                                                     dydx=−2xy2−4y2x2y+4x−12$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x{y}^2-4y}{2x^{2}y+4x-12}$

Kemiringan garis singgung kurva di titik (2 , 1) diperoleh dengan memasukkan nilai x = 2 dan y = 1 pada persamaan dy/dx. Sehingga diperoleh sebagai berikut:

m=−2(2)(12)−4(1)2(22)(1)+4(2)−12=−2$m=\frac{-2(2)(1^2)-4(1)}{2(2^2)(1)+4(2)-12}=-2$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:

y - 1 = -2 (x - 2)

     y = -2 (x - 2) + 1

     y = -2x - 4 + 1

     y = -2x - 3